VỀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE 〖31〗^X+〖37〗^Y=Z^2 VÀ 〖53〗^X+〖59〗^Y=Z^2

Tóm tắt

Các phương trình Diophantine mũ, bao gồm những phương trình xuất hiện trong giả thuyết của Fermat-Catalan và giả thuyết của Beal, đã được nghiên cứu rộng rãi và thường có dạng . Mặc dù đã có những tiến bộ đáng kể trong các trường hợp cụ thể, một lý thuyết tổng quát để giải các phương trình như vậy vẫn là một thách thức. Một ví dụ nổi tiếng là giả thuyết của Catalan, khẳng định rằng phương trình   có nghiệm duy nhất là (x, y, a, b) = (3, 2, 2, 3) trong tập số nguyên dương; giả thuyết này đã được Mihăilescu chứng minh. Được thúc đẩy bởi kết quả này, nhiều tác giả đã nghiên cứu các mở rộng của các phương trình kiểu Catalan, đặc biệt là những phương trình có dạng  ở đây p và q là các số nguyên tố. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu các phương trình Diophantine  và  và thiết lập các kết quả mới liên quan đến sự không tồn tại nghiệm trong tập số nguyên dương. Phương pháp tiếp cận của chúng tôi dựa trên sự kết hợp giữa lập luận đồng dư và kỹ thuật phân tích thừa số. Kết quả, chúng tôi chỉ ra các phương trình này không có nghiệm nguyên không âm và đề xuất giả thuyết cho các trường hợp tổng quát hơn. Các phương pháp này không chỉ mang lại kết quả rõ ràng mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các phương trình Diophantine mũ.