Các bổ đề Farkas dạng tiệm cận cho các hệ lồi

Tóm tắt

Trong bài báo này chúng tôi thiết lập các điều kiện tương đương (gọi là các đặc trưng) của bao hàm thứctrong đó C là tập con lồi, đóng của không gian lồi địa phương (kgldp) X, K là nón lồi đóng trong kgldp Y, và  là ánh xạ K- lồi, còn tập lồi đảo bên phải bao hàm thức trên được xác định bởi một hàm lồi, nửa liên tục dưới  f. Các đặc trưng này được thiết lập mà không có bất kỳ điều kiện chính quy nào và thường được gọi là các kết quả dạng Farkas tiệm cận (hay dạng xấp xỉ). Phần thứ hai của bài báo dành cho thiết lập các biến thể khác của bổ đề Farkas dạng tiệm cận cho ánh xạ g là lồi theo một hàm dưới tuyến tính mở rộng S (thay vì lồi theo nón K như trên). Chúng tôi cũng chứng minh rằng, dưới một số điều kiện chính quy thích hợp, các kết quả đạt được ở trên cho lại các kết quả dạng Farkas hoặc dạng ổn định Farkas (stable Farkas lemmas) được thiết lập bởi nhiều tác giả trong những năm gần đây, hoặc cho các phiên bản mới của các định lý này. Các kết quả đạt được có thể được sử dụng để nghiên cứu các bài toán tối ưu mà ở đó các điều kiện chính quy không thỏa mãn.